Бакшин — БАКШЕЕВ, БАКШИН.
Бакшеем — назывался писарь у татар. В эпоху монголо-татарского ига слово и образованное от него мирское имя было широко распространено и в русском языке. В конце XV века, например, в Московском государстве жил «помещик Михаль Бакшей, сын Степана Лазарева».
Бакшеев. В середине XV века упомянут Бакшей Василий, в 1473 году Бакшей Степан Лазарев. В XVI — XVII вв. дворяне Бакшеевы в Рязанском крае. Бакшей -«писарь» (татар.) (Веселовский 1974, с. 22). Но, может быть, от крещ. татар, бакше, бакчи «дозорный» (ТСТ, 1, с. 113). В последующем — педагоги, художник (БСЭ, 2, с. 1649).
В «Ономастиконе» Веселовского: Бакша Сидоров, крестьянин, 1545 г., Новгород; Василий Бакшей, середина XV в., Старица; Бакшей Степанович Лазарев, 1473 г., Звенигород; Бакшейко, крестьянин, 1545 г., Новгород; Никита Бакшеев, вотчинник, начало XV в., Радонеж; Бакшеевы, XVI—XVII вв., Рязань и Новгород; Бакшин Яков, крестьянин, 1590 г., Арзамас; Бакшины, крестьяне, 1606 г., там же. Бакшей — писарь (татар.); бакша — колдун, шаман, старый жрец (калмьщ.)
Из дополнений посетителей. Вы правильно подметили, что данная фамилия имеет монгольские корни. Еще хотелось бы добавить, что данная фамилия также пошла от бурятского и монгольского языков. По бурятски (монгольски) «багша» означает учитель. Я по национальности бурят, мой прапрадедушка был учителем (багшой), вот наш род и стал Бакшеевым. Бакшеев Базыр.